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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27043 - Algebraic Curves


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27043 - Algebraic Curves
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
First semester
Subject type:
Optional
Module:
---

1. General information

This is an optional subject in the maths degree that serves as an introduction into two of the most classical fields in mathematics: algebra and geometry combined. The main objective is to present a brief introduction to algebraic geometry and to establish the deep connection between algebraic and geometric notions, stressing the fact that this provides an enriched point of view in both fields.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • Understand the relationship between notions and methods from algebra and geometry.
  • Provide local characterizations of geometric objects.
  • Calculate multiplicities and intersection multiplicities.
  • Compute multiplicities and intersection multiplicities.

3. Syllabus

  1. Algebraic preliminaries. Commutative rings and ideals. Rings of fractions. Noetherian rings. 
  2. Polynomial rings. Homogeneous polynomials. The Hilbert basis theorem.
  3. Affine varieties. Affine algebraic sets and ideals of sets of points. Hilbert's nullstellensatz.
  4. Morphisms and Zariski topology. Polynomial and rational maps. Zariski's topology.
  5. The projective space. Projective algebraic sets. Projective closure. Projective version of Hilbert's nullstellensatz. 
  6. Algebraic plane curves. Parametrizable curves. Local properties: singularities, tangents and multiplicities. Multiplicities and local rings. Bézout’s theorem.
  7. Appendix:Applications in cryptography, topological interpretation, curves in prime characteristic and Riemann's conjecture.

4. Academic activities

Master classes: 45 hours.
Problem solving: 15 hours.
Study: 85 hours.
Assessment tests: 5 hours.

5. Assessment system

Any student will be guaranteed the right to pass the subject by a final comprehensive exam. Alternatively, the student will be given the possibility to pass the subject by continuous evaluation as follows:

  • 50% of the final mark by the resolution of three sets of exercises that will be orally defended.
  • 30% from exercise solving in class.
  • 20% by the elaboration of an individual academic project on a subject related to the course.


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27043 - Curvas algebraicas


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27043 - Curvas algebraicas
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

Se trata de una asignatura optativa del grado de Matemáticas que introduce al alumno o alumna en el estudio combinado de dos de sus ramas más clásicas, el álgebra y la geometría. Para ello, se presenta por un lado una pequeña introducción a la geometría algebraica estableciendo una estrecha relación entre nociones algebraicas y geométricas, insistiendo en que esto proporciona un punto de vista enriquecido de ambos campos.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Conocer la relación entre conceptos y métodos del álgebra y la geometría.
  • Caracterizar localmente elementos geométricos.
  • Calcular multiplicidades y multiplicidades de intersección.
  • Conocer aplicaciones de la teoría de curvas algebraicas.

3. Programa de la asignatura

  1. Complementos algebraicos. Anillos e ideales. Anillos de fracciones. Anillos noetherianos.
  2. Anillos de polinomios. Polinomios homogéneos. Teorema de la base de Hilbert.
  3. Variedades afines. Conjuntos algebraicos afines e ideales de puntos. El teorema de los ceros de Hilbert.
  4. Morfismos y topología de Zariski.  Aplicaciones polinómicas y racionales. Topología de Zariski.
  5. El espacio proyectivo. Conjuntos algebraicos proyectivos. Clausura proyectiva. Versión proyectiva del teorema de los ceros de Hilbert.
  6. Curvas algebraicas planas. Parametrizaciones de curvas. Singularidades, tangentes y multiplicidades. Multiplicidades y anillos locales. El teorema de Bèzout.
  7. Apéndices: Aplicaciones en criptografía, interpretación topológica, curvas en característica prima y conjetura de Riemann.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 45 horas.
Resolución de problemas y casos: 15 horas.
Estudio: 85 horas.
Pruebas de evaluación: 5 horas.

5. Sistema de evaluación

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global, esta asignatura se evaluará en forma continua como sigue:

  • 50% por la resolución de tres controles teórico-prácticos que deberán ser defendidos oralmente y superados independientemente.
  • 30% por la resolución de una serie de ejercicios propuestos.
  • 20% por la evaluación de un trabajo académico de carácter individual.